微分係数を用いた接線の求め方をマスターしながら復習も行う例題演習

こんにちは、ひろこです。

 

今回は、微分を用いた接線の求め方

その類題について説明します。

 

前回の記事で微分の定義について

詳しく説明していますので、

 

まだの方はぜひそちらも

読んでみてください!

 

math-sugaku-hiroko.hatenablog.com

 

微積分の習得は、前回お話し

したとおり神戸大学合格に

必要不可欠なものです。

 

なのでこのブログでも、

複数回に分けて

詳しく説明したいと思います。

 

全ての記事を読んできちんと

理解したあなたは

 

ある日、自分が微積分の問題を

スラスラと解ける事に

気づくでしょう。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171118072657j:image

 

模試での偏差値はどんどん上がり、

友人達からは

「◯◯どうやって勉強してるん!?」

 

と、驚かれるはずです。

 

そして、数ヶ月後には

神大生となったあなたを

 羨望の眼差しで見るでしょう。

 

あなたの母親は親戚や近所の人に

「うちの子は神戸大学に行っていて…」

と自慢気に話す事でしょう。

 

あなたは、憧れだった神戸大学

自分の好きなことを

思う存分好きなことを学べるのです。

 

しかし、今のままでは

数学のせいで偏差値が足りず、

模試の度に落ち込む事になるでしょう。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171118073315j:image

 

そして、学校の先生に

「この成績では神戸大学は無理だ」

と言われ、

 

別の大学を受験する事に

なってしまうかもしれません。

 

もしくは、周りの反対を押し切り、

神戸大学を受験して浪人する事に

なるかもしれません。

 

そうなれば、あなたは友人達が

大学生活を楽しんでいる中、

一年間勉強をし続けなければいけません。

 

せっかく遊びに誘われても、

断って一人で勉強する生活は

とても辛いはずです。

 

そうならず、理想の生活を

手に入れるために

今から少しずつ勉強を進めていきましょう!

 

 

さて、曲線の接線を求める際に

最も重要なのは

 

曲線上の点(a,f(a))における

接線の傾きは微分係数f'(a)

で表さられるという事です。

 

例えば、次の問題を

考えてみましょう。

 

例1:曲線y=x^2上の点(1,1)における

  曲線の接線の方程式を求めよ。

 

f(x)=x^2とおくと、

f'(x)=2xとなります。

 

よって、点(1,1)における接線の

傾きは、f'(1)=2となります。

 

点(x',y')を通る直線は傾きをaとすると

y-y'=a(x-x')となることから

 

当たり前ですが、接線は接点を

通るので求める式は

y-1=2(x-2)となります。

 

よって答えは

y=2x-3です。

 

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171120010827j:image

 

以上を記号に置き換えて考えると、

接線の方程式の公式が求められます。

 

曲線 y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の方程式は

y-f(a)=f'(a)(x-a)

 

このことを抑えて、少し違う問題を

考えてみましょう。

 

例2:曲線y=x^2-4x+3に点(1,-4)から

   引いた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。

 

解ける方は自力で答えを出してから

スクロールしてください!

 

【解説】

f(x)=x^2-4x+3として微分すると、

f'(x)=2x-4 となります。

 

ここで、求める接点の座標

( t , f(t) )…① と置くと、接線の方程式は

y-f(t)=f'(t)(x-t)

 

となるので、f(t)とf'(t)をそれぞれ代入して

整理するとy=(2t-4)x-t^2+3…②

となります。

 

この直線が点(1,-4)を通るので、

代入して-4=(2t-4) /cdot 1-t^2+3

 

整理するとt^2-2t-3=0

になるので、(t-3)(t+1)=0より

t=3 , -1

 

t=3 のとき、①②にそれぞれ代入して

接点の座標は (3,0)

接線の方程式は y=2x-6

 

t=-1 のとき、同様に

接点の座標は (-1,8)

接線の方程式は y=-6x+2

 

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171127032909j:image

 

この問題は答えを出すために

因数分解を用いて、概略図を

書くために平方完成が必要となるので

 

もしその部分でつまずいた方は

 以前にそれらを扱った記事があるので、

一度復習してからもう一度解いてみてください!

 

 

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では、失礼します。

 

 

 

微分の定義を導出から理解してもう二度とテストで“導関数の定義”を忘れない方法

こんにちは、ひろこです。

 

今回は、微分について

お話ししたいと思います。

 

この記事を読んでくれている

皆さんの中には、

 

「とにかく微分が嫌い!

ビブンと聞くだけで目眩がする!」

 f:id:Math-sugaku_hiroko:20171025175218j:image

なんて方も多いのでは

ないでしょうか…?

 

しかし、微分と、

そして微分の仲間である積分は、

神戸大学文系数学入試問題において

 

最も頻出の分野といっても

過言ではないほど

よく出る分野なのです。

 

ちなみに、過去5年間の

2017-2013のうち、微積分が一切

出なかった年は2013年だけです。

 

つまり!逆に考えると、

微積分ができるかできないかは

高確率で点数に直結する、ということです。

 

この記事を読み、微分

しっかりと理解できたあなたは、

 

間違いなく偏差値は上がり、

苦手な数学を克服して

神戸大学に合格できるでしょう!

 

想像してみてください。

母親が周りの人に

子供が神大に通っていると自慢し、

 

友達はあなたを羨望の

眼差しで見る未来を。

 

神戸大学で好きなことを

思う存分学べる未来を。

 

あなたはとてもハッピーな気分に

なっているはずです。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171102034815j:image

 

 しかし、嫌いだからと言って

微分が理解できないままでは、

 

待っているのは

不合格になり浪人生活を

送る未来や、

 

妥協した他の大学での

やりたいこと学びたいことが

学べない未来です。

 

その未来が訪れたとき、

「あの時微分を理解していれば…」

なんて思うのは、とても辛いですよね。

 

そうならない為にも、

今、しっかりと微分について

理解しておきましょう!

 

 さて、微分の定義を理解する上で

最も重要なのは、

接線の傾き です。

 

なぜかと言うと、そもそも

微分をする事で曲線のある点における

接線の傾きを知る事ができるからです。

 

微分=接線の傾きを知るもの

と考えてもらっていいでしょう。

 

(正確には違うのですが、

高校数学を扱う上では問題ありません。

興味がある方はぜひ私に聞いてください!)

 

では、実際にある曲線 f(x)の

a点における接線を考えてみましょう。

 

突然ですが、あなたはこの図を

見せられただけで、

接線を書く事ができますか?

 f:id:Math-sugaku_hiroko:20171117014458j:image

接線らしきものは書けるかもしれませんが、

正確な接線は書けないはずです。

 

なぜなら、直線という図形は

通る二点または通る点と傾きが

わかっていないと書けないからです。

 

 では、どうすれば良いでしょう。

二点あれば直線は書けるので、

仮にある点bも設定してみましょう。

 

a点とb点を通る点なら、

簡単に書けるはずです。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171117015120j:image

 

そして、そのb点をだんだんa点に

近づけてみてください。

 

傾きがだんだん小さくなり、最終的には

a点における接線になっていませんか?

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171117015128j:image

 これが、f(x)をある点aで微分した際の

微分係数 f'(a) の図形的な意味合いです。

 

これを式で表すと、

f'(a)=lim_{x \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

となります。

 

limとは”ギリギリまで近づける”、 

 という意味です。

 

y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

a点とb点を結んだ直線を

表す式なので、

 

先程の式がa点における接線の

傾きを表す、という事も

納得できるのではないでしょうか?

 

また、a点とb点の距離をhとすると、

 f:id:Math-sugaku_hiroko:20171117025852j:image

f'(a)=lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

の式が得られます。

これをf(x)の導関数と言います。

 

この二つの式はとても重要なもの

ですが複雑な式でもあるので、

導出からしっかり理解しましょう! 

 

 

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では、失礼します。

二次不等式を1分で確実に解き、神戸大学合格に一歩近づく方法

こんにちは、ひろこです。

 

今回は二次不等式について

お話します!

 

二次不等式は二次方程式

よく似ていますが、

 

二次不等式特有の問題も多くあるので、

そこを重点的にお話します。

 

なので、まだの方はぜひ

二次方程式の記事も

お読みください!

math-sugaku-hiroko.hatenablog.com

 

さて、二次不等式は

場合分けが必要な時に

頻繁に用いられるものです。

 

そして場合分けは模試や入試で

意外なほどよく使われます。

 

ということは、二次不等式が

完璧に解けるようになれば

神戸大学合格に一歩近づくということです!

 

親に褒められたり、

友達に羨ましがられたり…

 

おしゃれなキャンパスで、

自分の好きなことを

思いっきり学べる…

 

 そんな大学生活にあなたは

憧れませんか?

 

しかし、仮に二次不等式が

解けなければ、そのせいで

二次試験の得点が足らず、

 

不合格になってしまうかも

しれません…。

 

そうなれば、待っているのは

一年間の浪人生活です。

 

周りの友達が華やかな大学生活を

送っている中、

一人で孤独な勉強漬けの日々…

 

そんな浪人生活は、できれば

誰しもが避けたいはずですが、

 

終わりの見えない受験勉強に

取り組んでいると、

 

自分は浪人してしまうのではないか

という取り留めのない不安に

襲われることもあると思います。

 

 そんな不安を取り除き、

神戸大学合格に一歩近づくためにも

 

まずは1つ1つの単元を

完璧にしていきましょう!

 

さて、二次不等式を解く上で

最も重要なこと、それは

 

図を描くことです。

 

ここでまず注意してほしいのは、

かくのはグラフではなく図

だということです。 

 

例えば、次の問題を考えてみましょう。

 

例① x^2+x-6<0

 

前回までの記事を読んで、

因数分解二次方程式

マスターしているあなたなら、

 

すぐに

(x-2)(x+3)<0

という形に変形したくなるはずです。

 

なぜなら、先ほどの式は二次関数

y=x^2+x-6 のどの部分(xの範囲)が

y=0 つまりx軸より小さいかを考えるもので、

 

それを求めるためには因数分解することで

二次方程式x^2+x-6=0 を

解かなければならないからです。

 

では、ここから不等式を解くためには 

どうすれば良いのでしょうか?

 

答えは、先ほどお伝えした

図を描くことです。 

 

試しに、例①の問題を

図に描いて解いてみましょう。

 

まず、放物線とx軸を書きます。

この時のポイントは、放物線を

綺麗に書きすぎないことです。

 

 先に因数分解していて、

二次方程式x^2+x-6=0 の実数解は

二個だとわかっているので、

 

放物線がx軸と二箇所で交わる図で

あれば、どんなに適当で歪んでいても

大丈夫です!

 

次に、因数分解からわかっている

x軸との交点のx座標を書き込みます。

 

最後に、式にある不等号から該当する

範囲を求めます。

 

今回は不等号<の下に等号=が

付いていないので、区間の端は

白丸にすることも忘れないでください。

 

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171024234557j:image 

 

図から、答えは-3<x<2 となります。

 

慣れればとても素早く解ける上に

答えを視覚的に捉えられるので、

とてもわかりやすいかと思います。

 

次に、この問題を考えてみましょう。

 

例② x^2+x+1>0

 

同じように解ければ良いのですが、

この式はこれ以上因数分解できません。

 

ここで、解の公式を使っても良いのですが、

試しに判別式に当てはめてみると、

 

D=-3<0 となり、

二次方程式x^2+x+1=0 は

x軸と交点を持たないことがわかります。

 

よって、図は以下のようになり、

 f:id:Math-sugaku_hiroko:20171024235031j:image

全てのxにおいて放物線がx軸より

上にあるため、

 

答えは全ての実数となります。

 

 このような、少し変わった答えを

 特殊解と呼んだりします。

 

 

二次不等式って意外と簡単だ!

と思って頂ければ幸いです。

 

 

勉強の仕方や問題の解き方、

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では、失礼します。 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二次方程式の解の個数は、暗記に頼らない判別式で3つのパターンに分けて考える!

こんにちは、ひろこです。

 

今回は、前回の最後にお話した、

二次方程式の解の個数について

お話します。

 

模試や神戸大学入試で、直接、

「この二次方程式の解の個数は?」

と問われることはまずありませんが、

 

解の個数を求める方法は、

様々な場面で必要となります。

 

例えば、以前にもご紹介した

神戸大学2016年度大問2では

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171018043551j:image

 

一見、全く関係ないように見えますが

解の個数の求め方を知っていないと

解けないようになっています。

 

一つ一つの単元を確実に理解し、

神戸大学合格に繋げましょう!

 

親に認められ、友達には羨ましがられる…

お洒落な神戸の街で、自分の好きな分野を

誰にも邪魔されることなく学べる…

 

そんな憧れの大学生活を、

あなたはきっと、

手にすることができます。

 

しかし、細かい単元の理解を

軽んじていては、神戸大学合格は

決して現実とはならないでしょう。

 

周りの友人が素敵な大学生活を謳歌している中、

あなたは一人、浪人生として

一年を過ごさなければいけなくなります。

 

もしくは、神戸大学受験を諦めて、

別の大学で妥協することに

なってしまうかもしれません。

 

そんなのどっちも嫌だ!

あなたはそう思ったはずです。

 

嫌な未来に進まなくていいよう、

今からしっかりと対策をして

明るい未来を目指しましょう!

 

さて、では二次方程式の解の個数を

求める為に必要な知識、それは

判別式です。

 

判別式とは、その名の通り

解の個数を判別する式のことです。

 

二次方程式ax^2+bx+c=0の判別式を

Dとすると、D=b^2-4ac となり、

そのDの値から以下のような結果になります。 f:id:Math-sugaku_hiroko:20171018044646j:image

 

 ただしこの関係は、

丸覚えする必要は一切ありません。

 

なぜなら、この判別式を、

あなたはもう既に知っているからです。

 

解の公式、x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

覚えていますか?

 

 この式と判別式をよく見ると、

あることに気づくはずです。

 

…そう、判別式とは、解の公式の

ルートの中の式のことなのです!

 

そう考えると、先ほどの

判別式と解の個数の関係も

納得できるのではないでしょうか?

 

D>0の時は、

x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

2つの解が。

 

D=0の時は、

\frac{-b}{2a}

1つの解が、

 

D<0の時は、

ルートの中が負の数になることは

ないので実数解なし。

 

(細かいことを言うと、ルートの中が

負の数になる場合は《虚数解》が

存在するのですが今は割愛します。)

 

このように、ただ丸覚えするのではなく、

きちんと理解しながら勉強することで

スムーズに学習を進めましょう! 

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171019021213j:image

 

勉強の仕方、問題の解き方や

神戸大学に合格するための方法を

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では、失礼します!

 

 

方法はこの2つだけ!二次方程式を必ず解けるようになり、ついでに復習もしよう!

こんにちは、ひろこです!

 

今回は2次方程式について

お話しします。

 

2次方程式因数分解、二次関数を

理解していないと解けません。

 

そのため、まとめ問題の意味でも

よく出題されます。

 

二次方程式を必ず解けるようになれば、

あなたの偏差値は間違いなく

上がります。

 

偏差値が上がれば、

憧れの神戸大学合格に繋がります。

 

あなたの母親は「うちの子は神戸大学で…」

と近所の人に自慢し、

 

友達は「◯◯、神大生なん!すご!」

とあなたを羨むことでしょう。

 

少し目を閉じて、

あなたの思い描くキャンパスライフを

想像して見てください。

 

おしゃれな街の神戸で、

思う存分好きなことが学べる大学生活…

 

今思い浮かべた生活を、あなたは

手に入れることが必ずできるはずです。

 

しかし、今のままでは

数学のせいで偏差値が伸びず、

 

神戸大学の受験を諦めなければ

ならなくなるでしょう。

 

あまり行きたくない大学で、

やりたくもない分野の勉強を、4年間も

我慢してしなければいけなくなります。

 

そうならない為に、一つ一つの分野を

大切に勉強して行きましょう!

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171014181856j:image

 

その勉強の1つ、二次方程式

必ず解く為に大事なこと、それは

 

因数分解と解の公式

です。

 

では、具体的な問題で考えてみましょう。

まず、次の問題を考えてください。

 

例:次の二次方程式を解け。

x^2+x-6=0

 

ここで、以前に書いた因数分解

記事を思い出してください。

 

因数分解はそもそも、f(x)=0

の解を求めるためのものでしたよね?

 

つまり今のような問題の時こそ、

因数分解をすれば良いのです。

 

先ほどの問題式を公式を用いて

因数分解すると、

以下のようになります。

 

(x-2)(x+3)=0

 

よって、解は x=2,-3 となります。

このように、いつでも因数分解

できれば良いのですが、

 

もちろんできない場合もあります。

次の問題を考えてみましょう。

 

例:x^2+x-1=0

 

この二次方程式は、これ以上

因数分解することができません。

 

こういう場合に、解の公式を使います。

 

解の公式は、ax^2+bx+c=0 の解が

x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

となる公式のことです。

 

(証明方法は知っていなくても問題ないので

とりあえず省略します。)

 

ではこの公式を先程の式に

当てはめてみると、

 

x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}

 

となり、解が求まります。

ここで改めて確認してもらうと、

解が二個出ていることがわかると思います。

 

二次関数のグラフをイメージして

もらえると、納得できるのでは

ないでしょうか?

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171014183331j:image

 

この解の個数はよく問題で

問われるものですので、

次回詳しくお話したいと思います!

 

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では、失礼します。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

誰しもが苦手な二次関数を、たった3つの形をマスターすることで完璧にする方法

こんにちは、ひろこです。

 

今回は二次関数について

お話ししたいと思います。

 

二次関数は高校数学の

始めの方に習う分野ですが、

苦手な人が多い分野でもあります。

 

その上、数学Ⅱの指数・対数関数、

微積分などを解くために

二次関数の知識は必須です

 

また、以前、“絶対値”の記事で

ご紹介した 2016年度の大問2のように、

神戸大学文系数学でも二次関数は

頻出の分野となっています。

 

この機会に二次関数を完璧に

理解し、スムーズに学習を進めましょう!

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171006185833j:image

 

では、二次関数で大事なこと、

それは

 

 3つの形を使い分ける

ことです。

二次関数には、以下の3つの形があります。

 

y=ax^2+bx+c

y=a(x-p)^2+q

y=a(x-\alpha)(x-\beta)

 

これを状況に応じて使い分けられる

ようにしましょう!

では、1つずつ見ていきます。

 

まず、① y=ax^2+bx+c

 一般形と呼ばれるものです。

 

一次関数、三次関数も

同じような形で表されます。

 

問題文中では二次関数は

この形で提示されることが

最も多いです。

 

 “関数の決定”の問題では、

求める二次関数の三点の座標が

与えられた時に

 

この式に座標を代入することで

答えを求めることができます。

 

次に、② y=a(x-p)^2+q

基本形や標準形と呼ばれるものです。

 

この形は、頂点の座標(p,q)

を知ることができます。

 

 そのため、グラフが必要な時や

最大・最小を求める時には

 

①の形から②の形に変形

しなければいけません。

 

 その変形を平方完成といい、

やり方は以下の通りです。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171010035930j:image

 

平方完成はとてもよく使う計算なので、

演習を重ねて素早く正確に

解けるようになりましょう。

 

また、“関数の決定”の問題では

頂点の座標や軸の方程式が

与えられている時にこの式に代入します。

 

最後に、③ y=a(x-\alpha)(x-\beta)

分解形とよく呼ばれるものです。

 

因数分解の形になっているため、

以前の記事でご紹介したとおり、

y=0 の二次方程式の解がわかります。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171010142843j:image

 

また、“関数の決定”の問題では

y座標が0である座標を複数ある時、

この式に代入することで簡単に求められます。

 

(①に代入して求めることもできますが

③に代入した方が圧倒的に楽です!)

 

以上の3つの形を使いこなし、

憧れの神戸大学入学を

果たしましょう!

 

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では、失礼します。

因数分解を、解けるだけでなく意味までしっかり理解する!解法の4つのポイントと因数分解の真実

こんにちは、ひろこです。

 

今回は、因数分解

についてお話しします。

 

因数分解は、独立した問題として

二次試験に出ることは

(ほぼ)ありませんが、

 

二次関数や対数関数など、

他の分野を解くときに

必須となります。

 

今回は解き方はもちろん、因数分解

によって、どんな事ができるか

などもお話しするので、

 

得意な方もそうでない方も、

ぜひご覧ください!

 

基礎を大事にして、

安定した成績や偏差値を

ゲットしましょう!

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まず、因数分解は何のために 

するのかお話しします。

 

ずばり、因数分解

f(x)=0のxの値を求める

ためにします。

 

そもそも因数分解とは、

1つの整式を、1次以上の

積の形に表すこと  です。

 

つまり、かけ算の形にする

ことが因数分解、というわけです。

 

ではなぜかけ算の形にすると

f(x)=0の解が求められるのか、

 

また、それを求めると

何ができるのか、

詳しくみていきましょう。

 

例えば、

 f(x)=x^2+x-6

という関数を考えてみます。

 

これを因数分解すると、

f(x)=(x+3)(x-2)

となりますよね。

 

では、(x+3)(x-2)=0

にするためには、

どうすれば良いでしょうか。

 

 そうです。

積の形になっていますから、

各項のどれか、

 

つまり、今の場合は

(x+3)もしくは(x-2)どちらかが

0になれば良いのです。

 

よって、f(x)=0の解は

x+3=0 より、x=-3

x-2=0  より、x=2    となります。 

 

そして、この二つの解は、

y=f(x) と y=0 の交点、

 

つまりy=f(x)とx軸との共有点

となります。

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以上が、因数分解をする理由です。

 

では次に、因数分解の解き方

についてお話しします。

 

因数分解の解き方のポイントは

4つあります。

 

まず、一つ目のポイントは、

公式を使いこなすことです。

 

因数分解には、

以下のように様々な公式があります。

 

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+a)

acx^2+(ab+cd)x+bd=(ax+b)(cx+d)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

 

上から4番目の物は、

たすき掛けを使うもので、

以下のように解きます。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171004153045j:image

 

これらの公式は、

何回も演習を重ねて

しっかり身につけてください。

 

二つ目のポイントは、

共通因数を見つけることです。

 

共通因数があれば、()の外に

くくり出すことができます。

f:id:Math-sugaku_hiroko:20171004154437j:image

 

三つ目のポイントは、

置き換えを利用することです。

 

 置き換えをすることで、

式が見やすくなり

計算しやすくなります。

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最後のポイントは、

降べきの順に並び替える

ことです。

 

複雑な式、特に、

文字が2つ以上ある場合は、

 

降べきの順に並び替えることで

公式が使えることに

気づきやすくなります。

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以上の4つのポイントを

守り、因数分解をマスター

しましょう!!

 

最後に、もし答えに不安が

あるときは展開して

確認をしましょう。

 

ここまで、因数分解

解くための4つのポイントを

お話ししましたが、

 

因数分解をマスターするために

最も必要なもの、それは

 

演習です。

ポイントを意識して演習を重ね、

因数分解マスターを目指しましょう!

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では、失礼します。