微分係数を用いた接線の求め方をマスターしながら復習も行う例題演習

こんにちは、ひろこです。

今回は、微分を用いた接線の求め方や

その類題について説明します。

前回の記事で微分の定義について

詳しく説明していますので、

まだの方はぜひそちらも

読んでみてください！

math-sugaku-hiroko.hatenablog.com

微積分の習得は、前回お話し

したとおり神戸大学合格に

必要不可欠なものです。

なのでこのブログでも、

複数回に分けて

詳しく説明したいと思います。

全ての記事を読んできちんと

理解したあなたは

ある日、自分が微積分の問題を

スラスラと解ける事に

気づくでしょう。

模試での偏差値はどんどん上がり、

友人達からは

「◯◯どうやって勉強してるん!?」

と、驚かれるはずです。

そして、数ヶ月後には

神大生となったあなたを

 羨望の眼差しで見るでしょう。

あなたの母親は親戚や近所の人に

「うちの子は神戸大学に行っていて…」

と自慢気に話す事でしょう。

あなたは、憧れだった神戸大学で

自分の好きなことを

思う存分好きなことを学べるのです。

しかし、今のままでは

数学のせいで偏差値が足りず、

模試の度に落ち込む事になるでしょう。

そして、学校の先生に

「この成績では神戸大学は無理だ」

と言われ、

別の大学を受験する事に

なってしまうかもしれません。

もしくは、周りの反対を押し切り、

神戸大学を受験して浪人する事に

なるかもしれません。

そうなれば、あなたは友人達が

大学生活を楽しんでいる中、

一年間勉強をし続けなければいけません。

せっかく遊びに誘われても、

断って一人で勉強する生活は

とても辛いはずです。

そうならず、理想の生活を

手に入れるために

今から少しずつ勉強を進めていきましょう！

さて、曲線の接線を求める際に

最も重要なのは

曲線上の点(a,f(a))における

接線の傾きは微分係数f'(a)

で表さられるという事です。

例えば、次の問題を

考えてみましょう。

例1：曲線上の点(1,1)における

　　曲線の接線の方程式を求めよ。

とおくと、

となります。

よって、点(1,1)における接線の

傾きは、となります。

点(x',y')を通る直線は傾きをaとすると

となることから

当たり前ですが、接線は接点を

通るので求める式は

となります。

よって答えは

です。

以上を記号に置き換えて考えると、

接線の方程式の公式が求められます。

曲線 y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の方程式は

y-f(a)=f'(a)(x-a)

このことを抑えて、少し違う問題を

考えてみましょう。

例２：曲線に点(1,-4)から

　　　引いた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。

解ける方は自力で答えを出してから

スクロールしてください！

【解説】

として微分すると、

f'(x)=2x-4 となります。

ここで、求める接点の座標を

( t , f(t) )…① と置くと、接線の方程式は

となるので、f(t)とf'(t)をそれぞれ代入して

整理すると…②

となります。

この直線が点(1,-4)を通るので、

代入して

整理すると

になるので、(t-3)(t+1)=0より

t＝3 , -1

t=3 のとき、①②にそれぞれ代入して

接点の座標は (3,0)

接線の方程式は y=2x-6

t=-1 のとき、同様に

接点の座標は (-1,8)

接線の方程式は y=-6x+2

この問題は答えを出すために

因数分解を用いて、概略図を

書くために平方完成が必要となるので

もしその部分でつまずいた方は

 以前にそれらを扱った記事があるので、

一度復習してからもう一度解いてみてください！

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